Question

【題目】如圖1，AB為的直徑，為圓弧上的一點(diǎn)，，垂足為D，AC平分，AB的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；

（2）若，B為的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，求的長(zhǎng)；

（3）如圖2，連接OD交于點(diǎn)，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）連結(jié)OC，如圖1，根據(jù)平行線的判定得OC∥AD，進(jìn)而求出DE為⊙O的切線；

（2）如圖1，由B為OE的中點(diǎn)，AB為直徑得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OEC=30°，則∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得，；

（3）連結(jié)OC，如圖2，先證明△OCG∽△DAG，利用相似的性質(zhì)得，再證明△ECO∽△EDA，利用相似比得到，設(shè)⊙O的半徑為R，OE=x，代入求得，最后在Rt△OCE中，根據(jù)正切的定義求解．

解：（1）連結(jié)OC，如圖1

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴AD∥CO，

∵AD⊥DC，

∴CO⊥DE，

∴DC為⊙O的切線；

（2）解：如圖1

直徑，B為的中點(diǎn)．

在中，

，；

（3）連結(jié)OC，如圖2

設(shè)的半徑為R，，

解得

由勾股定理，得，

在中，．