Question

18．如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)（4，4），過點(diǎn)B作BA⊥x軸，垂足為A，作BC⊥y軸，垂足為C，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，分別連接OE、CF，其交點(diǎn)為M，連接AM．求證：AM=AO．

Answer 1

分析 由A的坐標(biāo)，以及E為BC中點(diǎn)，確定出OC與CE的長，根據(jù)勾股定理求出OE的長，過M作MN⊥OC于N，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形CMO與三角形ECO相似，由相似得比例求出CM與OM的長，利用面積法求出MN的長，確定出M坐標(biāo)，求出AM的長，即可得證．

解答 證明：∵OC=4，CE=2，由勾股定理得：OE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
過M作MN⊥OC于N，
∵OE⊥CF，
∴∠CMO=∠OCE=90°，
∵∠COE=∠COE，
∴△CMO∽△ECO，
∴$\frac{OC}{OE}$=$\frac{CM}{CE}$=$\frac{OM}{OC}$，
即$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{CM}{2}$=$\frac{OM}{4}$，
解得：CM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，OM$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
在△CMO中，由三角形的面積公式得：$\frac{1}{2}$×OC×MN=$\frac{1}{2}$×CM×OM，
即4MN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
解得：MN=$\frac{8}{5}$，
在△OMN中，由勾股定理得：ON=$\sqrt{O{M}^{2}-M{N}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
即M（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∵A（4，0），
∴由勾股定理得：AM=$\sqrt{（4-\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{16}{5}）^{2}}$=4=AO，
則AM=AO．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．