Question

如圖，坐標系中有拋物線c：y=x²+m和直線l：y=-2x-2．
（1）求m取何值時，拋物線c與直線l沒有公共點；
（2）變化m，當拋物線c的頂點在直線l上時，求直線l被它截得的線段長．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）把兩函數(shù)的交點問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況：有兩解析式組成方程組，消去y得到x²+m=-2x-2，整理得x²+2x+m+2=0，然后根據(jù)判別式的意義得△=2²-4（m+2）＜0，最后解關(guān)于m的不等式即可．
（2）根據(jù)題意求得拋物線的頂點坐標為（0，-2），代入拋物線的解析式即可求得m，聯(lián)立方程，解方程即可求得交點坐標，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答：解：（1）根據(jù)題意得x²+m=-2x-2，
整理得x²+2x+m+2=0，
因為拋物線c與直線l沒有公共點，
所以△=2²-4（m+2）＜0，
解得m＞-1．
所以當m＞-1時，拋物線c與直線l沒有公共點；
（2）∵拋物線c的頂點在直線l上，
∴拋物線c的頂點為（0，-2），
代入解析式得，m=-2，
∴拋物線的解析式為y=x²-2，
解

y=x2-2 y=-2x-2

得

x=0 y=-2

或

x=-2 y=2

，
∴直線l和拋物線的交點為（0，-2）和（-2，2），
∴直線l被拋物線截得的線段長=

(-2-0)2+(2+2)2

=2

5

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，把兩函數(shù)的交點問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況是本題的關(guān)鍵．