Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點在線段上，由點向點運動，當點與點重合時，停止運動．以點為圓心，為半徑作，與交于點，點在上且在矩形外，．

（1）當時，__________，扇形的面積=__________，點到的最短距離=__________．

（2）與相切時，求的長？

（3）如圖與交于點、，當時，求的長？

（4）請從下面兩問中，任選一道進行作答．

①當與有兩個公共點時，直接寫出的取值范圍．

②直接寫出點的運動路徑長以及的最短距離．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）4；（4）①，或；②，

【解析】

（1）根據已知直接可求；
（2）⊙P與AC相切時，設切點為點H，連接PH，則PH⊥AC，在Rt△ADC中，AB=6，BC=8，得AC=10；在Rt△ADC中，sin∠DAC=，設⊙P半徑為x，則PH=PD=x，AP=8-x，在Rt△AHP中，sin∠PAH=＝，可求x=3，在Rt△PDC中，CD=6，PD=3，求得PC= ；
（3）過點P作PH⊥AC，連接PF；則∠PHA=∠ADC=90°，可證△AHP∽△ADC，設⊙P半徑為x，則PF=PD=x，AP=8-x，則PH=（8-x），在⊙P中，FH⊥AC，EF=6.4，HF=3.2，在Rt△PHF中，((8x))2+3.22=x2，求得PD=4；
（4）①作PM⊥AC于M，作PN⊥BC于N，易知PM=PD時，⊙P與AC相切，與△ABC只有一個公共點，PM＜PD時⊙P與△ABC沒有公共點；當PN=PD時，⊙P與BC相切，⊙P與△ABC有三個公共點，當PB=PD時，⊙P與△ABC有三個公共點；當PB＜PD≤AD時，⊙P與△ABC有且只有兩個公共點；故3＜PD＜6或＜PD≤8；②由∠QPD=120°，PQ=PD可得：∠ADQ=30°，即Q的路徑是一條線段，且線段DQ位于AD上方，易求得DQ=8，BQ的最短距離即點B到DQ的垂線段長度，可求得span>DQ的最小值=3+4；

解：（1）如圖1，連接PC，QP，PC交⊙P于T，

∵矩形ABCD
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，
在Rt△CDP中，由勾股定理得：PC===4 ，
∵∠QPD=120°，PD=2
∴S扇形QPD＝=4π
CT=CP-PT=4-2=2
故答案為：4，4π，2；

（2）與相切時，設切點為點，

連接，則，

四邊形為矩形

在中，，，

在中，

設半徑為，則，，

在中，，，

在中，，，

（3）過點作，垂足為點，連接，

則

又

設半徑為，則，，

在中，，

在中，根據勾股定理得：

解得：（舍去），

的長為4．

（4）①，或

②，