Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC邊上的點，且AE⊥EF于點E．
（1）延長EF交正方形ABCD的外角平分線CP于點P，試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）在AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在AB上取BN=BE，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECP，從而得到AE=EP；
（2）先證△DAM≌△ABE，進而可得四邊形DMEP是平行四邊形．
解答：（1）結(jié)論：AE=PE．理由如下：（1分）
在AB上截取BN=BE．（2分）
∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠B=90°．
∴AN=EC，∠1=∠2=45°．
∴∠4=135°．
∵CP為正方形ABCD的外角平分線，
∴∠PCE=135°．∴∠PCE=∠4．
∵∠AEP=90°，∴∠BEA+∠3=90°．
∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠3=∠BAE．
∴△ANE≌△ECP．
∴AE=EP．（3分）

（2）解：存在點M使得四邊形DMEP是平行四邊形．（4分）
理由如下：過點D作DM∥PE，交AE于點K，交AB于點M，連接ME、DP．（5分）
∴∠AKD=∠AEP=90°．
∵∠BAD=90°，∴∠ADM+∠AMD=90°，∠MAK+∠AMD=90°．
∴∠ADM=∠MAK．
∵AD=AB，∠B=∠DAB，
∴△AMD≌△BEA．（6分）
∴DM=AE．∴DM=EP．
∴四邊形DMEP為平行四邊形．（7分）
點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，解決問題的關(guān)鍵是要熟練掌握正方形的性質(zhì)及三角形相似的判定和性質(zhì)，
（1）中求線段的比，一般會與相似三角形掛勾；
（2）中增加了角平分線的相關(guān)性質(zhì)，通過目測可猜想兩條線段相等，從而通過構(gòu)造全等三角形的判定求解或是利用角平分線的性質(zhì)定理求解；
（3）中則考查了平行四邊形的識別．
命題規(guī)律與趨勢：本題起點不難，采用低起點、寬入口、坡度緩、步步高、窄出口”的分層考查的特點，考查學(xué)生的綜合運用知識解決總理的能力．以正方形為依托，以點的變化形式綜合考查了三角形相似、三角形全等、角平分線性質(zhì)、平行四邊形的識別等知識．圖中正確解讀信息、找到正確的思路是解決問題的關(guān)鍵．