Question

如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（13，0），點(diǎn)A在第一象限，AB⊥x軸，垂足為B，tan∠AOB=

3

2

．
（1）sin∠AOB=

 

；
（2）如果△AOM是等腰三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線(xiàn)MA與y軸相交于點(diǎn)N，以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似的情況是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得正弦函數(shù)值；
（2）分類(lèi)討論：OA=AM，AO=OM，MA=OM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得二元二次方程組，根據(jù)解方程組，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得

AB

ON

=

OB

OM

，

AB

OM

=

OB

ON

，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得

ON

OM

=

AB

OB

=

3

2

，

OM

ON

=

AB

OB

，根據(jù)解方程組，可得大答案．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A為（x，y）
因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，AB⊥x軸
tan∠AOB=

y

x

=

3

2

①，
y=

3

2

x，
OA=

x2+y2

=

13

2

x，
ain∠AOB=

AB

OA

=

3 2 x

13 2 x

=

3 13

13

，
故答案為：

3 13

13

；
（2）當(dāng)AO=AM時(shí)，則AO²=AM²，
即x²+y²=（13-x）²+y² ②
由①②得

y= 3 2 x x2+y2=(13-x)2+y2

，
解得

x= 13 2 y= 39 4

，
即A（

13

2

，

39

4

）
當(dāng)OA=OM時(shí)，則MA²=OM²，
即x²+y²=169     ③
由①③得

y= 3 2 x x2+y2=169

，
解得

x=2 13 y=3 13

，
即A（2

13

，3

13

  ）；
當(dāng)MA=OM時(shí)，則MA²=OM²，
即（13-x）²+y²=169    ④
由①④得

y= 3 2 x (13-x)2+y2=169

，
解得

x=8 y=12

，

x=0 y=0

（不符合題意的要舍去），
即A（8，12），
綜上所述：△AOM是等腰三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

13

2

，

39

4

），（2

13

，3

13

  ），（8，12）；
（3）存在A(yíng)點(diǎn)，以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，
當(dāng)△OAB∽△MON時(shí)，

AB

ON

=

OB

OM

，

ON

OM

=

AB

OB

=

3

2

，
ON=

3

2

OM=

39

2

，N（0，

39

2

），
直線(xiàn)MN y=-

3

2

x+

39

2

④，
由①④得

y= 3 2 x y=- 3 2 x+ 39 2

，
解得

x= 13 2 y= 39 4

，
A（

13

2

，

39

4

）；
當(dāng)△OAB∽△NMO時(shí)，

AB

OM

=

OB

ON

，

OM

ON

=

AB

OB

，
ON=

OB

AB

•OM=

2

3

×13=

26

3

，N（0，

26

3

），
直線(xiàn)MNy=-

2

3

x+

26

3

⑤，
由①⑤得

y= 3 2 x y=- 2 3 x+ 26 3

，
解得

x=4 y=6

，
A（4，6），
綜上所述：A（4，6），（

13

2

，

39

4

）時(shí)，以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了三角函數(shù)的定義，等腰三角形的定義，相似三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，題目稍有難度．