Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（30，0），B（24，6），C（8，6）．點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒3個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，速度為每秒2個單位．當這兩點有一點達到自己的終點時，另一點也停止運動．設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）當點Q在OC上運動時，試求點Q的坐標；（用t表示）
（2）當點Q在CB上運動時；
①當t為何值時，四邊形OPQC為等腰梯形？
②是否存在實數(shù)t，使得四邊形PABQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線OC的方程為y=kx，把C的坐標代入即可求出k的值，確定出直線OC的方程，當Q在OC上運動時，設(shè)出Q的坐標，由Q的速度是每秒2個單位，運動時間為t秒，故OQ=2t，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可用t表示出m的值，確定出Q的坐標；
（2）①當Q在CB上運動時，得到CQ=2t-10，從而表示出Q的坐標和P的坐標，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到OD=EP，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意t的值；
②假設(shè)存在t的值，使得四邊形PABQ為平行四邊形，從而得到PE=FA=6，列出關(guān)于t的方程，求出t的值，而根據(jù)Q在CB上運動，P在OA上運動，列出關(guān)于t的不等式組，求出不等式的解集得到t的范圍，求出t的值不在這個范圍中，故假設(shè)錯誤，則不存在t，使得PABQ為平行四邊形．

解答：解：（1）設(shè)直線OC的方程為y=kx，把C（8，6）代入方程得：k=

3

4

，
所以直線OC的方程為y=

3

4

x，
設(shè)Q（m，

3

4

m），∵OQ=2t，
根據(jù)勾股定理得m²+（

3

4

m）²=4t²，
∵m＞0，t＞0，∴m=

8

5

t，

3

4

m=

6

5

t，
則Q坐標為（

8

5

t，

6

5

t）；

（2）①當點Q在CB上運動時，CQ=2t-10，從而點Q（2t-2，6），P（3t，0），
當四邊形OPQC為等腰梯形時，OD=EP=8，
∴8+2t-10+8=3t，解得t=6（秒），
則當t=6秒時，四邊形OPQC為等腰梯形；
②若存在實數(shù)t，使得四邊形PABQ是平行四邊形，
則EP=FA=6，∴3t-（2t-2）=6，解得t=4（秒），
而

8≤2t-2＜24 0≤3t≤30

，解得5≤t≤10，
t=4不屬于此范圍，所以假設(shè)錯誤，
則不存在實數(shù)t，使得四邊形PABQ是平行四邊形．

點評：此題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道運動型的題，要求學生借助圖形，找準動點運動的運動軌跡來解決問題．第二問的第二小問利用了反證法進行說明，方法為：先假設(shè)存在t使得PABQ為平行四邊形，求出此時的t的值不在求出t的范圍之中，得出矛盾，故假設(shè)錯誤，則不存在t使得PABQ為平行四邊形．