Question

如圖，在△ABC中，AB＞AC，I為△ABC的內(nèi)心，D點(diǎn)在BC邊上且∠ACB=2∠CDI．求證：AB=AC+BD．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出EI=IM=IF，進(jìn)而利用全等得出AE=AF，BE=BM，F(xiàn)C=MC，即可得出AB=AC+BD．

解答：解：連接AI，BI，CI，過點(diǎn)I作IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC垂足分別為E，M，F(xiàn)，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠ICB，
又∵IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC，
∴EI=IM=IF，
在Rt△AEI和Rt△AFI中，
∵

AI=AI EI=FI

，
∴Rt△AEI≌Rt△AFI（HL），
則AE=AF，
同理可得出：BE=BM，F(xiàn)C=MC，
∵∠ACB=2∠CDI，
∴∠ICD=∠IDC，
∴ID=IC，
∵IM⊥CD，
∴DM=CM，
∴AE+BE=AF+BM=AF+BD+DM=AF+FC+BD=AC+BD，
即AB=AC+BD．

點(diǎn)評：此題主要考查了內(nèi)心的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出DM=CM以及AE=AF，BE=BM，F(xiàn)C=MC是解題關(guān)鍵．