Question

（2012•和平區(qū)模擬）圖①至圖③中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)．扇形紙片OMP在AB、CD之間（包括AB、CD），扇形OMP的圓心角∠MOP=α，半徑OM=4．如圖①，扇形的半徑OM在AB上．如圖②③，將扇形紙片OMP繞點(diǎn)M在AB、CD之間順時針旋轉(zhuǎn)．
（Ⅰ）如圖②，當(dāng)α=60°時，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P到直線CD的最小距離是

2

，旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值是

90°

；
（Ⅱ）如圖③，在扇形紙片OMP旋轉(zhuǎn)的過程中，要使點(diǎn)P落在直線CD上，α的最大值是

120°

．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)PM⊥AB時，點(diǎn)P到AB的距離最大，此時點(diǎn)P到CD的距離最小，求出MP的長度后即可得出點(diǎn)P到直線CD的最小距離；當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時，弧MP與AB相切，此時旋轉(zhuǎn)角最大，也可求出最大值．
（II）點(diǎn)P是弧MP與CD的切點(diǎn)時，α最大，根據(jù)解直角三角形的知識，求出∠MOH的度數(shù)，繼而可得出α的最大值．

解答：解：（I）∵α=60°，
∴△MOP是等邊三角形，
∴MO=MP=4，
∴PM⊥AB時，點(diǎn)P到AB的最大距離是4，
由已知得出M與P的距離為4，
從而點(diǎn)P到CD的最小距離為6-4=2，
當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時，弧MP與AB相切，
此時旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90°；
（II）點(diǎn)P是弧MP與CD的切點(diǎn)時，α最大，即OP⊥CD，

∵OM=OP=4，
∴HM=2，
在RT△HMO中，OM=4，HM=2，
∴∠MOH=30°，
此時α=∠MOH+∠HOP=30°+90°=120°．
故答案為：2、90°；120°．

點(diǎn)評：此題屬于圓的綜合題，涉及了切線的性質(zhì)定理以及平行線之間的關(guān)系和解直角三角形等知識，根據(jù)切線的性質(zhì)求解是初中階段的重點(diǎn)題型，此題考查知識較多綜合性較強(qiáng)，注意認(rèn)真分析．