Question

已知兩直線l₁，l₂分別經過點A（1，0），點B（－3，0），并且當兩直線同時相交于y正半軸的點C時，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₂交于點K，如圖所示．

（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數解析式；

（2）拋物線的對稱軸被直線l₁、拋物線、直線l₂和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數量關系？請說明理由；

（3）當直線l₂繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標：

 

Answer 1

【答案】

解：由勾股定理，得（OC²+OB²）+（OC²+OA²）=BC²+AC²=AB²，

又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴，∴點C的坐標是

由題意可設拋物線的函數解析式為y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入

函數解析式得

所以，拋物線的函數解析式為；

（2）截得三條線段的數量關系為KD=DE=EF．

（3）當點M的坐標分別為時，△ MCK為等腰三角形．

（i）連接BK，交拋物線于點G，易知點G的坐標為（﹣2，），

又∵點C的坐標為（0，），則GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，

∴△CGK為正三角形

∴當l₂與拋物線交于點G，即l₂∥AB時，符合題意，此時點M₁的坐標為（﹣2，），

（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，

∴當l₂過拋物線頂點D時，符合題意，此時點M₂坐標為（﹣1，），

（iii）當點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，

但點A、C、K在同一直線上，不能構成三角形，

綜上所述，當點M的坐標分別為時，△MCK為等腰三角形．

【解析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可求出OC的長，由此確定點C的坐標；知道A、B、C三點坐標后，利用待定系數法可確定該拋物線的解析式．

（2）先求得直線l₁的解析式為，拋物線的對稱軸為直線x=1，由此可求得點K的坐標為（﹣1，），點D的坐標為（﹣1，），點E的坐標為（﹣1，），點F的坐標為（﹣1，0），即得，從而得到結果；

（3）從題干的旋轉條件來看，直線l₁旋轉的范圍應該是l₁、l₂中間的部分，而△MCK的腰和底并不明確，

所以分情況討論：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；求出點K的坐標、∠BCO的度數結合上述三種情況求解．