Question

已知二次函數y＝x²+ax+a－2.

（1）求證：不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點.

（2）設a＜0，當此函數圖象與x軸的兩個交點A、B的距離為時，求出此二次函數的解析式.

（3）若（2）中的條件不變，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由.

Answer 1

解（1）因為△＝a²－4(a－2)＝(a－2)²+4＞0，所以不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點.

（2）設x₁、x₂是x²+ax+a－2＝0的兩個根，由韋達定理得，

x₁+x₂＝－a，x₁x₂＝a－2，                

因兩交點的距離是AB＝，所以＝＝.

即(x₁－x₂)²＝13，

變形為(x₁+x₂)²－4x₁x₂＝13，所以(－a)²－4(a－2)＝13

整理，得a²－4a－5＝0，解得a₁＝5，或a₂＝－1.

又因為a＜0，所以a＝－1，

所以此二次函數的解析式為y＝x²－x－3. 

（3）設點P的坐標為(x₀，y₀)，

因為AB＝.

所以S_△PAB＝AB·＝，所以＝，

所以＝3，則y₀＝±3.                  

當y₀＝3時，x₀²－x₀－3＝3，解得x₀＝－2，或3；

當y₀＝－3時，x₀²－x₀－3＝－3，解得x₀＝0，或1.

綜上所述， P點坐標是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3).