Question

如圖，矩形AOBC在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），直線y=

3

4

x與AC交于點(diǎn)D．有一動點(diǎn)P從O出發(fā)，沿線段OB以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△OEP為直角三角形？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△OEP為等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AB的解析式，再聯(lián)立直線y=

3

4

x和直線AB的解析式可得E點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）分①∠OPE=90°；②∠OEP=90°兩種情況討論即可求解；
（2）分①OP=EP；②OP=OE；③OE=PE三種情況討論即可求解．

解答：解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）代入，依題意有

b=3 6k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=3

．
故直線AB的解析式為y=-

1

2

x+3．
聯(lián)立直線y=

3

4

x和直線AB的解析式可得

y= 3 4 x y=- 1 2 x+3

，
解得

x=2.4 y=1.8

，
故E點(diǎn)坐標(biāo)為（2.4，1.8）．
（1）①當(dāng)∠OPE=90°時(shí)，OP=2.4，t=2.4÷2=1.2秒；
②當(dāng)∠OEP=90°時(shí)，
設(shè)直線EP的解析式為y=-

4

3

x+b₁，
把E點(diǎn)坐標(biāo)（2.4，1.8）代入得-

4

3

×2.4+b₁=1.8，
解得b₁=5．
故直線EP的解析式為y=-

4

3

x+5．
當(dāng)y=0時(shí)，-

4

3

x+5=0，解得x=3.75，
即OP=3.75，t=3.75÷2=1.875秒．
故當(dāng)t為1.2或1.875秒時(shí)，△OEP為直角三角形；

（2）①當(dāng)OP=EP時(shí)，OE的垂直平分線的解析式為y=-

4

3

x+2.5．
當(dāng)y=0時(shí)，-

4

3

x+2.5=0，解得x=1.875，
即OP=1.975，t=1.875÷2=0.9375秒；
②當(dāng)OP=OE時(shí)，OP=OE=

2．42+1．82

=3，t=3÷2=1.5秒；
③當(dāng)OE=PE時(shí)，OP=2.4×2=4.8，t=4.8÷2=2.4秒．
故當(dāng)t為0.9375或1.5或2.4秒時(shí)，△OEP為等腰三角形．

點(diǎn)評：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，方程思想的應(yīng)用，直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．