Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于點P，若四邊形ABCD的面積是9，則DP的長是3．

Answer 1

分析 作DE⊥BC，交BC延長線于E，如圖，則四邊形BEDP為矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，則可利用“AAS”證明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S_△ADP=S_△CDE，所以四邊形BEDP為正方形，S_{四邊形ABCD}=S_矩形BEDP，根據(jù)正方形的面積公式得到DP²=9，易得DP=3．

解答 解：作DE⊥BC，交BC延長線于E，如圖，
∵DP⊥AB，ABC=90°，
∴四邊形BEDP為矩形，
∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，
∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
在△ADP和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠CED}\\{∠ADP=∠CDE}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP=DE，S_△ADP=S_△CDE，
∴四邊形BEDP為正方形，S_{四邊形ABCD}=S_矩形BEDP，
∴DP²=9，
∴DP=3．
故答案為3．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理．本題的關(guān)鍵的作輔助線構(gòu)造兩個全等的三角形．