Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點E和點D，已知BD：CD=2：$\sqrt{3}$．
（1）求∠ADC的度數(shù)；
（2）利用已知條件和第（1）小題的結(jié)論求tan15°的值（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）連接AD，設(shè)BD=2k，則CD=$\sqrt{3}$k，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD=2k，然后只需在Rt△ACD中運用三角函數(shù)就可解決問題；
（2）當(dāng)∠ACD=30°時，易得∠B=15°，要求tan15°的值，只需求$\frac{AC}{BC}$，只需用k的代數(shù)式分別表示出AC和BC就可解決問題．

解答 解：（1）連接AD，如圖．
設(shè)BD=2k，則CD=$\sqrt{3}$k．
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=2k．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴cos∠ADC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}k}{2k}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADC=30°；

（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB．
∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，
∴∠B=∠DAB=15°．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴$AC=\sqrt{A{D^2}-C{D^2}}=k$．
在Rt△ABC中
∵∠C=90°，
∴$tanB=\frac{AC}{BC}=\frac{k}{{\sqrt{3}k+2k}}=2-\sqrt{3}$，
∴$tan{15°}=2-\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理等知識，利用已知條件和第（1）小題的結(jié)論是解決第（2）小題的關(guān)鍵．