【題目】如圖1,BC是⊙O的直徑,A是⊙O上一點,過點B作⊙O的切線,與CA的延長線相交于點E,F(xiàn)是BE的中點,延長AF與CB的延長線相交于點P.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)如圖2,若AD⊥BC于點D,連接CF與AD相交于點G.求證:AG=GD;
(3)在(2)的條件下,若FG=BF,且⊙O的半徑長為,求BD的長度.
【答案】(1)證明見解析;
(2)證明見解析;
(3)BD的長度為
【解析】試題分析:(1)根據(jù)切線判定知道EB⊥BC,而AD⊥BC,從而可以確定AD∥BE,那么△BFC∽△DGC,又G是AD的中點,就可得出結(jié)論BF=EF.(2)要證PA是 O的切線,就是要證明∠PAO=90°連接AO,AB,根據(jù)第1的結(jié)論和BE是 O的切線和直角三角形的等量代換,就可得出結(jié)論.(3)點F作FH⊥AD于點H,根據(jù)前兩問的結(jié)論,利用三角形的相似性和勾股定理,可以求出BD和FG的長度.
試題解析:(1)證明:連結(jié).
是⊙O的直徑, .
在中,因為是斜邊的中點,
. .
又, .
是⊙O的切線, .
,
是⊙O的切線.
(2)證明:
又, .
易證, .
.
∵BF=EF
.
(3)解:過點作于點.
四邊形是矩形, .
由(1),∵BE=AF=FE.
.
,
.
,
,即.
∵四邊形是矩形,
∴FH∥BC
∴.
∵,
∴CF=3FG.
在Rt△FBC中,
∵CF=3FG,BF=FG,
∴CF2=BF2+BC2∴(3FG)2=FG2+(6)2
解得FG=3(負值舍去)
∴FG=3.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,點E、F分別在BC、CD上,△AEF是等邊三角形,連結(jié)AC交EF于G,下列結(jié)論:①BE=DF;②∠AEF=15°;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF;⑤△CEF為等腰直角三角形,其中正確的有(填序號).
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【題目】甲乙兩個商場以同樣的價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠措施,甲商場的優(yōu)惠措施是:累計購買100元商品后,再買的商品按原價的90%收費;乙商場則是:累計購買50元商品后,再買商品按原價的95%收費,顧客選擇哪個商店購物獲得更多的優(yōu)惠?
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【題目】將多項式﹣a2+a3+1﹣a按字母a升冪排列正確的是( )
A.a3﹣a2﹣a+1
B.﹣a﹣a2+a3+1
C.1+a3﹣a2﹣a
D.1﹣a﹣a2+a3
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【題目】如圖,數(shù)軸上有三個點A、B、C,表示的數(shù)分別是﹣4、﹣2、3,請回答:
(1)若使C、B兩點的距離與A、B兩點的距離相等,則需將點C向左移動_____個單位;
(2)點A、B、C開始在數(shù)軸上運動,若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動,運動t秒鐘過后:
①點A、B、C表示的數(shù)分別是_____、_____、_____ (用含t的代數(shù)式表示);
②若點B與點C之間的距離表示為d1,點A與點B之間的距離表示為d2.試問:d1﹣d2的值是否隨著時間t的變化而改變?若變化,請說明理由;若不變,請求出d1﹣d2值.
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【題目】先閱讀下面的材料,再回答后面的問題:
計算:10÷(-+).
解法一:原式=10÷-10÷+10÷=10×2-10×3+10×6=50;
解法二:原式=10÷(-+)=10÷=10×3=30;
解法三:原式的倒數(shù)為(-+)÷10
=(-+)×=×-×+×=
故原式=30.
(1)上面得到的結(jié)果不同,肯定有錯誤的解法,你認為解法 是錯誤的。
(2)請選擇一種上述的正確方法解決下面的問題:
計算:()÷().
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【題目】如果一個數(shù)的立方根是這個數(shù)本身,那么這個數(shù)是( )
A. 1B. ±1 ,0C. 0 , 1D. ±1
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【題目】請你從下列條件:①AB=CD,②AD=BC,③AB∥CD,④AD∥BC中任選兩個,使它們能判定四邊形ABCD是平行四邊形.共有________種情況符合要求.
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