Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，EB=EC
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）運用垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)證明∠ODE=90°即可解決問題；
（2）證明∠B=45°，∠A=45°，進(jìn)而證明AC=BC即可解決問題．

解答：（1）證明：連接CD，OC
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC
∴DE為直角△DCB斜邊的中線，
∴DE=CE=

1

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BC．
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切線．
（2）解：△ABC是等腰直角三角形
當(dāng)以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，則∠DEB=90°，
又∵DE=BE，
∴△DEB是等腰直角三角形，
則∠B=45°，∠A=45°，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

點評：該命題以圓為載體，以切線的判定為考查的核心構(gòu)造而成；同時還滲透了對圓周角定理的推論、直角三形的性質(zhì)等幾何知識點的考查；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．