Question

如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M．

（1）求證：∠FMC=∠FCM；

（2）AD與MC垂直嗎？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DF⊥AE，DF=AF=EF，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；

（2）由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案．

【解答】（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF，

又∵∠ABC=90°，

∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AMF，

在△DFC和△AFM中，

，

∴△DFC≌△AFM（AAS），

∴CF=MF，

∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD⊥MC，

理由：由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=FA=FE，F(xiàn)M=FC，

∴∠FDE=∠FMC=45°，

∴DE∥CM，

∴AD⊥MC．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠DCF=∠AMF是解題關(guān)鍵．