Question

某乳制品公司開發(fā)一種新的乳制品，第一批產(chǎn)品上市30天內(nèi)全部售完，該公司對(duì)第一批產(chǎn)品上市后市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖1中的折線表示的是市場(chǎng)日銷售量y₁與上市時(shí)間x的關(guān)系，圖2中的折線表示的是每件該產(chǎn)品的銷售利潤y₂與上市時(shí)間x的關(guān)系．

（1）求第一批產(chǎn)品的市場(chǎng)日銷售量y₁與上市時(shí)間x的關(guān)系式；
（2）求每件該產(chǎn)品的銷售利潤y₂與上市時(shí)間x的關(guān)系式；
（3）問第一批產(chǎn)品上市后，哪一天這家公司市場(chǎng)日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少元？

Answer 1

分析：（1）設(shè)y₁=kx+b，根據(jù)圖象分別找出0≤x≤15和15＜x≤30時(shí)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式求出k、b的值，即可求得函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)y₂=mx+n，根據(jù)圖象分別找出0≤x≤20和20＜x≤30時(shí)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式求出m、n的值，即可求得函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)利潤為W，根據(jù)利潤=每件產(chǎn)品的利潤×日銷量列出函數(shù)關(guān)系式，求最大值即可．

解答：解：（1）設(shè)y₁=kx+b，
當(dāng)0≤x≤15，找出兩點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），（15，45），
代入解析式得：

b=0 15k+b=45

，
解得：

k=3 b=0

，
則此時(shí)解析式為：y₁=3x；
當(dāng)

3x(0≤x≤15) -x+60(15＜x≤30)

15＜x≤30，找出兩點(diǎn)坐標(biāo)（15，45），（30，30），
代入解析式得：

15k+b=45 30k+b=30

，
解得：

k=-1 b=60

，
則此時(shí)解析式為：y₁=-x+60，
故日銷售量y₁與上市時(shí)間x的關(guān)系式為：y₁=

3x(0≤x≤15) -x+60(15＜x≤30)

；

（2）設(shè)y₂=mx+n，
當(dāng)0≤x≤20時(shí)，找出兩點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），（20，40），
代入解析式得：

n=0 20m+n=40

，
解得：

m=2 n=0

，
則此時(shí)解析式為：y₂=2x；
當(dāng)20＜x≤30時(shí)，找出兩點(diǎn)坐標(biāo)（20，40），（30，40），
代入解析式得：

20m+n=40 30m+n=40

，
解得：

m=0 n=40

，
則此時(shí)解析式為：y₂=40，
故每件該產(chǎn)品的銷售利潤y₂與上市時(shí)間x的關(guān)系式為：
y₂=

2x(0≤x≤20) 40(20＜x≤30)

；

（3）設(shè)利潤為W，則W=y₁y₂，
則W=

3x•2x(0≤x≤15) (-x+60)•2x(15＜x≤20) 40(-x+60)(20＜x≤30)

，
當(dāng)0≤x≤15時(shí)，W=6x²，
x=15時(shí)W取最大值W=6×15×15=1450（元）；
當(dāng)15＜x≤20時(shí)，W=-2x²+120x=-2（x-30）²+1800，
∵-3＜0，
∴開口向下，對(duì)稱軸為x=30，
∴當(dāng)x=20時(shí)W取最大值W=1600（元）；
當(dāng)20＜x≤30時(shí)，W=-40x+2400，
∵-40＜0，
∴當(dāng)20＜x≤30時(shí)隨著x的增大W值減小，
故當(dāng)x=20時(shí)W取最大值W=-40×20+2400=1600（元）
答：第20天這家公司市場(chǎng)日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多1600元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分段函數(shù)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意列出函數(shù)關(guān)系式并利用分段函數(shù)x的不同范圍求出函數(shù)的最大值，有一定難度．