Question

如圖，已知直線y=-x+4與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．P、Q分別是x軸與y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A向x軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)向點(diǎn)O移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)0時(shí)，P、Q均停止運(yùn)動(dòng)，二者同時(shí)出發(fā)，速度相同．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)AP=t，△PAQ的面積為S，試求S與t的關(guān)系式；當(dāng)S取最大值時(shí)，求PQ與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若PQ交AB于點(diǎn)C，以QC為直徑的圓交AB于另一點(diǎn)D，試判斷CD的長(zhǎng)度是否隨P、Q的移動(dòng)而變化，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）因?yàn)橹本�y=-x+4與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，且A的縱坐標(biāo)為0，B的橫坐標(biāo)為0，所以代入直線方程即得A、B坐標(biāo)．
（2）表示面積只需知道底與高，其中AP，OQ是固定在坐標(biāo)軸上的底和高，則易表示面積，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)最值性質(zhì)求最大值即可．
（3）想得到是否變化的結(jié)論只能求出CD的長(zhǎng)．連接QD發(fā)現(xiàn)有QD⊥AB，則由△BQD∽△BAO，因?yàn)锳、B坐標(biāo)已知，所以BD易求．同理（2），可以用t表示C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而也可以表示BC，此時(shí)BC-BD就得到CD長(zhǎng)了，若CD中有字母t即隨P、Q的移動(dòng)而變化，若無字母t，即不隨變化．

解答：解：
（1）
對(duì)y=-x+4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴A（4，0），B（0，4）．

（2）
∵AP=BQ=t，OB-4，
∴OQ=4-t，
∴S_△PAQ=

1

2

AP•OQ=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t，
∴根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)，當(dāng)t=-

2

2•(- 1 2 )

=2時(shí)，S取最大．
此時(shí)P（6，0），Q（0，2），
設(shè)PQ關(guān)系式為：y=kx+b，代入P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，
解得

k=- 1 3 b=2

，
∴PQ：y=-

1

3

x+2．
∵C為AB與PQ的交點(diǎn)，
∴設(shè)C（x，y），其滿足方程組

y=-x+4 y=- 1 3 x+2

，
解得

x=3 y=1

，
∴C（3，1）．

（3）
CD的長(zhǎng)度不隨P、Q的移動(dòng)而變化，原因如下：

如圖，記圓與y軸交點(diǎn)為M，連接QD，MC，此時(shí)QM⊥MC，QD⊥BC，
∵P（t+4，0），Q（0，4-t）
∴設(shè)PQ關(guān)系式為：y=kx+b，代入P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，得方程組

0=k(t+4)+b 4-t=k•0+b

，
解得

k= t-4 t+4 b=4-t

，
∴PQ：y=

t-4

t+4

x+4-t
∵C為AB與PQ的交點(diǎn)，
∴設(shè)C（x，y），其滿足方程組

y=-x+4 y= t-4 t+4 x+4-t

解得

x= t+4 2 y= 4-t 2

∴C（

t+4

2

，

4-t

2

）．
在△BQD和△BAO中，

∠BQD=∠ABO ∠BDQ=∠BOA

，
∴△BQD∽△BAO，
∴

BD

BO

=

BQ

BA

在Rt△BAO中，
∵AO=BO=4，
∵BA=4

2

，
∴

BD

4

=

t

4 2

，
∴BD=

2

2

t．
∵M(jìn)O=

4-t

2

，
∴BM=4-

4-t

2

=

t+4

2

，
在Rt△BCM中，
∵BC²=CM²+BM²=（

t+4

2

）²+（

t+4

2

）²，
∴BC=

t+4

2

2

，
∴CD=BC-BD=

t+4

2

2

-

2

2

t=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題前兩問都非常常規(guī)，考察了一次、二次函數(shù)性質(zhì)和根據(jù)兩點(diǎn)求直線方程．第三問也屬于常規(guī)類型，不過計(jì)算上夾雜了字母，學(xué)生處理時(shí)易找不清方向，所以做題中一定要明確計(jì)算目標(biāo)，有條件的話可以先寫在演草紙上，避免混亂．