Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C₁：y=ax²+4x+4a（0＜a＜2）．
（1）當(dāng)C₁與x軸有唯一交點(diǎn)時(shí)，求C₁的解析式；
（2）若A（1，y₁），B（0，y₂），C（-1，y₃）三點(diǎn)均在C₁上，連BC，作AE∥BC交拋物線C₁于E，求證：當(dāng)a值變化時(shí)，E點(diǎn)在一條直線上；
（3）若a=1，將拋物線C₁先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得拋物線C₂，拋物線C₂與x軸相交于M、N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)的左邊），直線y=kx（k＞0）與拋物線C₂相交于點(diǎn)P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面積是△MOP的面積的4倍，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)與x軸有唯一交點(diǎn)，即△=0，即可求出a的值；
（2）用含a的式子表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC解析式，根據(jù)AE∥BC，求出直線AE的解析式，根據(jù)直線與拋物線相交，即可求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，即可證明；
（3）根據(jù)題意，求出拋物線C₂的解析式，即可得到|OM|=|0N|，根據(jù)面積的關(guān)系，得到點(diǎn)P，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再拋物線與直線相交，得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求得k值．

解答 （1）解：根據(jù)C₁與x軸有唯一交點(diǎn)，可得：△=b²-4ac=16-16a²=0，
解得：a=1，或a=-1（不合題意，舍去），
∴C₁的解析式為：y=x²+4x+4．
（2）證明：∵A（1，y₁），B（0，y₂），C（-1，y₃）三點(diǎn)均在C₁上，
∴A（1，5a+4），B（0，4a），C（-1，5a-4），且0＜a＜2，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，點(diǎn)B、C在直線BC上，得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4a}\\{-k+b=3a-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4-a}\\{b=4a}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=（4-a）x+4a，
由AE∥BC，可得直線AE的解析式為：y=（4-a）x+6a，
AE交拋物線C₁于E，可得：ax²+4x+4a=（4-a）x+6a，解得：x=-2或x=1（舍去），
∴點(diǎn)E在直線x=1的直線上．
（3）解：當(dāng)a=1時(shí)，拋物線解析式為：y=x²+4x+4，
將拋物線C₁先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得拋物線C₂的解析式為：y=x²-1，
∴可得點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），
∴|OM|=|0N|，
設(shè)點(diǎn)P（x₁，kx₁），Q（x₂，kx₂），（x1＜0，x2＞0，k＞0），
由△NOQ的面積是△MOP的面積的4倍，可知：kx₂=4（-kx₁），
即 x₂=-4x₁，
由y=kx且y=x²-1，可得：x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，且x₁•x₂=-1，且 x₂=-4x₁，
解得：${x}_{1}=-\frac{1}{2}$，x₂=2，$k=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在第（3）小題中，能根據(jù)三角形的面積之間的關(guān)系，找到點(diǎn)P，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．