Question

已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P（m，n）（n＜0）為拋物線上一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍；
（3）若m＞

3

2

，當(dāng)∠APB為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移t（0＜t＜

5

2

）個(gè)單位，點(diǎn)C、P平移后對應(yīng)的點(diǎn)分別記為C′、P′，是否存在t，使得首位依次連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短？若存在，求t的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題,待定系數(shù)法

分析：（1）待定系數(shù)法求解析式即可，求得解析式后轉(zhuǎn)換成頂點(diǎn)式即可．
（2）因?yàn)锳B為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時(shí)，滿足∠APB為鈍角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．
（3）左右平移時(shí)，使A′D+DB″最短即可，那么作出點(diǎn)C′關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為C″，得到直線P″C″的解析式，然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）過點(diǎn)A，B，
∴

a-b-2=0 16a+4b-2=0

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2；
∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴C（

3

2

，-

25

8

）．

（2）如圖1，以AB為直徑作圓M，則拋物線在圓內(nèi)的部分，能使∠APB為鈍角，
∴M（

3

2

，0），⊙M的半徑=

5

2

．

∵P′是拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴OP′=2，
∴MP′=

OP2+OM2

=

5

2

，
∴P′在⊙M上，
∴P′的對稱點(diǎn)（3，-2），
∴當(dāng)-1＜m＜0或3＜m＜4時(shí)，∠APB為鈍角．

（3）存在；
拋物線向左或向右平移，因?yàn)锳B、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短，只要AC′+BP′最小；
第一種情況：拋物線向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二種情況：向左平移，如圖2所示，由（2）可知P（3，-2），

又∵C（

3

2

，-

25

8

）
∴C'（

3

2

-t，-

25

8

），P'（3-t，-2），
∵AB=5，
∴P″（-2-t，-2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
點(diǎn)C′關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C″（

3

2

-t，

25

8

），
設(shè)直線P″C″的解析式為：y=kx+b，

-2=(-2-t)k+b 25 8 =( 3 2 -t)k+b

，
解得

k= 41 28 b= 41 28 t+ 13 14

∴直線y=

41

28

x+

41

28

t+

13

14

，
點(diǎn)A在直線上，
∴-

41

28

+

41

28

t+

13

14

=0
∴t=

15

41

．
故將拋物線向左平移

15

41

個(gè)單位連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對稱性，以及距離之和最小的問題，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．