Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙0，交BC于點(diǎn)D，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙0的切線；
（2）如果⊙0的半徑為9，sin∠ADE=

7

9

，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,解直角三角形

專題：計(jì)算題,證明題

分析：（1）連接OD，AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論．
（2）由∠DAC=∠DAB，根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計(jì)算出AD=8，在Rt△ADE中可計(jì)算出AE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB為⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切線；
（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=

AD

AB

=

7

9

，
∵AB=18，
∴AD=14，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=

AE

AD

=

7

9

，
∴AE=

98

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，切線的判定，銳角三角函數(shù)定義，掌握切線的判定和解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．