Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC是⊙O的弦，AD∥BC，且∠DCA=∠B．
（1）求證：DC與⊙O相切；
（2）若sinB=$\frac{4}{5}$，AB=5，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理得出∠ACB=90°，再利用已知得出DCA+∠ACO=90°，進(jìn)而求出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AC的長，再利用勾股定理得出BC的長，再結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出△DAC∽△ACB，則$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，進(jìn)而求出答案．

解答 （1）證明：連接CO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵CO=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCA=∠BCO，
∴DCA+∠ACO=90°，
即∠DCO=90°，
∴DC與⊙O相切；

（2）解：∵sinB=$\frac{4}{5}$，AB=5，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴AC=4，則BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠DCA=∠B，
∴△DAC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，
即$\frac{AD}{4}$=$\frac{4}{3}$，
解得：AD=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，正確得出△DAC∽△ACB是解題關(guān)鍵．