【題目】在中,,將繞點順時針旋轉至,點的對應點分別是,連接線段與線段交于點M,連接.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖1,求證:OM平分;
(3)如圖2,若,求的長.
【答案】(1)見詳解;(2)見詳解;(3)
【解析】
(1)根據旋轉的性質及OA=OB可得OA=OC=OB=OD,∠AOC=∠BOD,然后根據“SAS”證明△AOC≌△BOD即可得證;
(2)過點O作OE⊥AC,OF⊥BD,利用等積法可得OE=OF,再根據“HL”可證得Rt△MOE≌Rt△MOF即可得證;
(3)過點M作MH⊥AO,由可得∠OAC=∠ODB=45°,進而可證得△AOM≌△DOM,則∠MOD=∠MOA,利用及 可得∠MOA=60°,設OH=x,利用30°、45°的直角三角形的性質及勾股定理可表示出MO、MH、AH、AM的長,根據列出方程求解,進而可求得CM的長.
(1)證明:∵旋轉,
∴OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD,
∵OA=OB,
∴OA=OC=OB=OD,
在△AOC與△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴AC=BD;
(2)證明:過點O作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分別為E、F,
∵△AOC≌△BOD,
∴S△AOC=S△BOD,
∵OE⊥AC,OF⊥BD,
∴,
∵AC=BD,
∴OE=OF,
∵OE⊥AC,OF⊥BD,
∴∠MEO=∠MFO=90°,
在Rt△MOE與Rt△MOF中,
∴Rt△MOE≌Rt△MOF(HL),
∴∠OME=∠OMF,
∴OM平分;
(3)解:過點M作MH⊥AO,垂足為點H,
∵,OA=OC,OB=OD,
∴∠OAC=∠ODB=45°,
在△AOM與△DOM中,
∴△AOM與△DOM(AAS),
∴∠AOM =∠DOM,
∵∠BOD=,∠AOB=30°,
∴∠AOM =∠DOM=60°,
∵MH⊥AO,
∴∠MHO=∠MHA=90°,
∴在Rt△MHO中,∠OMH=30°,
設OH=x,則MO=2OH=2x,
∴,
∴在Rt△MHA中,∠HAM=45°,
∴AH=MH=,
∴,
∵,
∴
解得:x=2,
∴,
在Rt△AOC中,,
∴,
∴CM的長為.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C,D在圓上,且四邊形AOCD是平行四邊形,過點D作⊙O的切線,分別交OA的延長線與OC的延長線于點E,F,連接BF.
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)已知圓的半徑為1,求EF的長.
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【題目】在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā),現有一處需要爆破.已知點與公路上的停靠站的距離為米,與公路上另一?空的距離為米,且,如圖,為了安全起見,爆破點周圍半徑米范圍內不得進入,問在進行爆破時,公路段是否有危險,是否需要暫時封鎖?請通過計算進行說明.
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【題目】對于平面直角坐標系中的點,若,滿足,則點就稱為“絕好點”.例如:,因為,所以是“絕好點”.
(1)點 “絕好點”;點 “絕好點”(填“是”或“不是);
(2)已知一次函數(為常數)圖像上有一個“絕好點”的坐標是,一次函數(為常數)圖像上是否存在其他“絕好點”?若存在,請求出來;若不存在,請說明理由;
(3)點和點為一次函數(為常數且)圖像上的兩個“絕好點”,點在軸上運動,當最小時,求點的坐標.(用含字母的式子表示)
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【題目】如圖,反比例函數的圖象的一支在平面直角坐標系中的位置如圖所示,根據圖象回答下列問題:
(1)圖象的另一支在第 象限;在每個象限內,y隨x的增大而 ;
(2)若此反比例函數的圖象經過點(-2,3),求m的值.點A(-5,2)是否在這個函數圖象上?點B(-3,4)呢?
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【題目】如圖,點A在函數y=(x>0)圖象上,過點A作x軸和y軸的平行線分別交函數y=圖象于點B,C,直線BC與坐標軸的交點為D,E.
(1)當點C的橫坐標為1時,求點B的坐標;
(2)試問:當點A在函數y=(x>0)圖象上運動時,△ABC的面積是否發(fā)生變化?若不變,請求出△ABC的面積,若變化,請說明理由.
(3)試說明:當點A在函數y=(x>0)圖象上運動時,線段BD與CE的長始終相等.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠ABC=45°,AD是⊙O的切線交BC的延長線于D,AB交OC于E.
(1)求證:AD∥OC;
(2)若AE=2,CE=2.求⊙O的半徑和線段BE的長.
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【題目】如圖,某校一幢教學大樓的頂部豎有一塊“傳承文明,啟智求真”的宣傳牌CD.小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°,沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°.已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米,求這塊宣傳牌CD的高度.(測角器的高度忽略不計,結果精確到0.1米.參考數據:≈1.414,≈1.732)
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【題目】如圖,在一次數學課外活動中,小明同學在點P處測得教學樓A位于北偏東60°方向,辦公樓B位于南偏東45°方向.小明沿正東方向前進60米到達C處,此時測得教學樓A恰好位于正北方向,辦公樓B正好位于正南方向.求教學樓A與辦公樓B之間的距離(結果精確到0.1米).
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