Question

如圖，在正方形ABCD中，有一個(gè)小正方形EFGH，其中頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，F(xiàn)D上．
（1）求證：△EBF∽△FCD；
（2）連接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG，然后求出∠EFB=∠FDC，再根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明；
（2）先求出CF，再利用勾股定理列式求出DF，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出BE，再根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，
∴BC=CD，GH=EF=FG．
又∵點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)G在FD上，
∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EFB=∠FDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△EBF∽△FCD；

（2）解：∵BF=3，BC=CD=12，
∴CF=9，DF=

CF2+CD2

=

92+122

=15，
∵△EBF∽△FCD，
∴

BE

BF

=

CF

CD

，
∴BE=

BF•CF

CD

=

3×9

12

=

9

4

，
∴GH=FG=EF=

BE2+BF2

=

15

4

，
∴DG=DF-FG=15-

15

4

=

45

4

，
∴tan∠HDG=

GH

DG

=

15 4

45 4

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)以及相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．