Question

如圖，矩形DEFG的一組對(duì)邊DE、GF截等邊三角形ABC的兩邊AB、AC均成三等分，點(diǎn)G、F分別在AB、AC上，已知圖中兩個(gè)三角形（陰影部分）的面積和為

3

，則等邊△ABC的邊長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為3a．根據(jù)已知條件“DE、GF截等邊三角形ABC的兩邊AB、AC均成三等分”求得HG=FI=a；然后根據(jù)兩直線GF∥BC同位角相等及矩形的內(nèi)角是90°求得∠DGH=30°，再在直角三角形中求得GD、DH的長(zhǎng)度，從而求得S_△DGH=

3

8

a²；同理求得S_△EFI=

3

8

a²；最后根據(jù)“圖中兩個(gè)三角形（陰影部分）的面積和為

3

”來(lái)解關(guān)于a的方程．注意a是正數(shù)．

解答：解：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為3a．
∵DE、GF截等邊三角形ABC的兩邊AB、AC均成三等分，
∴HG=FI=a；
∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=60°，
∴∠DGH=90°-60°=30°；
∴DH=

1

2

GH=

1

2

a，GD=

3

2

a；
∴S_△DGH=

1

2

×

1

2

a×

3

2

a=

3

8

a²；
同理求得，S_△EFI=

1

2

×

1

2

a×

3

2

a=

3

8

a²；
∵S_陰影=S_△DGH+S_△EFI=

3

，
∴

3

=

3

8

a²+

3

8

a²，
解得，a=2或a=-2（不合題意，舍去），
∴3a=6，即等邊三角形的邊長(zhǎng)為6．
故答案是：6．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等，內(nèi)角是90°）、平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等）及直角三角形的解法．解答此題時(shí)，注意等邊三角形的邊長(zhǎng)3a的取值范圍3a＞0，即a＞0．