Question

如圖，已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求的值；

（2）若雙曲線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，求的面積；

（3）過(guò)原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）k=8；（2）15;（3） P坐標(biāo)為（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．

【解析】

試題分析：（1）將x=4代入一次函數(shù)解析式求出y的值，確定出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；

（2）將C縱坐標(biāo)代入反比例解析式求出橫坐標(biāo)，確定出C坐標(biāo)，即CD與OD的長(zhǎng)，三角形AAOC面積=三角形COD面積+梯形AEDC面積-三角形AOE面積，求出即可；

（3）設(shè)P（x，），即OM=x，PM=，分四種情況考慮：若P在A的左側(cè)，如圖所示，作PM⊥x軸，AN⊥x軸，由四邊形APBQ面積為24，且為平行四邊形，得到三角形AOP面積為6，根據(jù)三角形POM面積+梯形ANMP面積-三角形AON面積，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，利用對(duì)稱性求出P坐標(biāo)即可；若P在A的右側(cè)，同理可得P的坐標(biāo)；若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，利用對(duì)稱性求出P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）將x=4代入y=x=2，即A（4，2），

將A（4，2）代入反比例解析式得：k=8；

（2）過(guò)C作CD⊥x軸，作AE⊥x軸，

將y=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），

∴OD=1，CD=8，

∵A（4，2），∴OE=4，AE=2，

∵S△AOC=S△COD+S梯形AEDC-S△AOE=×1×8+×（2+8）×3-×4×2=15；

（3）設(shè)P（x，），即OM=x，PM=，

若P在A的左側(cè)，如圖所示，作PM⊥x軸，AN⊥x軸，

∵由點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為24，OP=OQ，OA=OB，即四邊形APBQ為平行四邊形，

∴S△AOP=S△POM+S梯形ANMP-S△AON=×24=6，

即x•+×（4-x）×（2+）-4=6，

解得：x=2，即P（2，4）；

若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，此時(shí)P（-2，-4）；

若P在A的右側(cè)，同理可得4+×（x-4）×（2+）-4=6，

解得：x=8，此時(shí)P坐標(biāo)為（8，1）；

若交點(diǎn)P在第三象限，Q在第一象限，此時(shí)P坐標(biāo)為（-8，-1），

綜上，P坐標(biāo)為（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．