Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，點E是BC的中點，OE交BC于點D．連接AC，若BC=6，DE=1，求AC的長．

Answer 1

分析 連接OC，由垂徑定理得出OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根據(jù)勾股定理可求出OB，進而求出OD長，再根據(jù)三角形中位線定理可得AC的長．

解答 解：連接OC，如圖所示．
∵點E是$\widehat{BC}$的中點，
∴∠BOE=∠COE，OD⊥BC，BD=DC．
∵BC=6，
∴BD=3．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=OE=r．
∵DE=1，
∴OD=r-1．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB²=BD²+OD²．
∵OB=r，OD=r-1，BD=3，
∴r²=3²+（r-1）²．
解得：r=5．
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC．
∴AC=8．

點評 本題考查了垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出半徑是解決問題的關(guān)鍵．