Question

4．如圖，CE=GF，AC=BC，∠ACB=90°，D是中點(diǎn)，DG⊥AC，F(xiàn)H⊥FC．
（1）求證：DG=DC；
（2）判斷FH和FC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）欲證明DG=CD，因?yàn)锳D=DC，所以只要證明AD=DG即可．
（2）欲證明FH=FC，只要證明△GFH≌△EFC即可．

解答 （1）證明：∵AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DG⊥AC，
∴∠ADG=90°
∴∠AGD=90°-∠A=45°，
∴∠A=∠AGD，
∴DG=AD，
∵AD=DC，
∴DG=DC．
（2）解：∵DG=DC，F(xiàn)G=EC，
∴DF=DE，
∵∠FDE=90°，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∴∠FEC=180°-∠DEF=135°，
∵∠AGD=45°，
∴∠FGH=180°-∠AGD=135°，
∴∠FEC=∠FGH，
∵FH⊥FC，
∴∠HFC=90°，
∴∠GFH+∠DFC=90°，
∵∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠GFH=∠FCE，
在△GFH和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGH=∠FEC}\\{FG=EC}\\{∠GFH=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△GFH≌△ECF，
∴FH=FC．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明∠FGH=∠FEC=135°，屬于中考�？碱}型．