Question

8．如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)交于O，E是OB上一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
①求證：OE=OF．
②當(dāng)E為OB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形．觀(guān)察①中結(jié)論是否仍然成立，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可證得∠FAG=∠ODF，由ASA證明△OAE≌△ODF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得OE=OF．
（2）同①得：∠OFD=∠OEA，由ASA證明△OAE≌△ODF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得OE=OF．

解答 ①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，AC⊥BD，
∴∠DOF=∠AOE=90°，
∴∠OAE+∠OEA=90°，
∵DG⊥AE，
∴∠ODF+∠OEA=90°，
∴∠ODF=∠OAE
在△OAE和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠DOF}&{\;}\\{OA=OD}&{\;}\\{∠OAE=∠ODF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△ODF（ASA），
∴OE=OF．
②解：①中結(jié)論仍然成立；理由如下：
如圖所示：
同①得：∠OFD═∠OEA，
在△OAE和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠DOF}&{\;}\\{OA=OD}&{\;}\\{∠OEA=∠OFD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△ODF（ASA），
∴OE=OF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．