Question

（2013•朝陽）如圖，直線AB與⊙O相切于點A，直徑DC的延長線交AB于點B，AB=8，OB=10
（1）求⊙O的半徑．
（2）點E在⊙O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（3）求弦EC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，交EC于F，根據(jù)切線性質(zhì)得出∠OAB=90°，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）根據(jù)AE=AC推出弧AE=弧AC，根據(jù)垂徑定理求出OA⊥EC，根據(jù)平行線判定推出即可；
（3）證△OFC∽△OAB，求出FC，根據(jù)垂徑定理得出EC=2FC，代入求出即可．

解答：（1）解：連接AO，交EC于F，
∵AB切⊙O于A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA=

OB2-AB2

=

102-82

=6，
答：⊙O的半徑是6．

（2）直線EC與AB的位置關(guān)系是EC∥AB．
證明：∵AE=AC，
∴弧AE=弧AC，
∵OA過O，
∴OA⊥EC，
∵OA⊥AB，
∴EC∥AB．

（3）解：∵EC∥AB，
∴△OFC∽△OAB，
∴

FC

AB

=

OC

OB

，
∴

FC

8

=

6

10

，
∴FC=

24

5

，
∵OA⊥EC，OA過O，
∴EC=2FC=

48

5

．

點評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．