Question

如圖，△ABC是邊長為4cm的正三角形，點(diǎn)D為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）沿直線AD將△ABC剪開，將△ABD的邊AB與AC重合，拼在△ACE位置得四邊形ADCE，連DE交AC于F．
（1）判斷△ADE的形狀并說明理由．
（2）當(dāng)△ADE的面積最小時(shí)，①求BD的長．②判斷AC與DE的位置關(guān)系并說明理由．
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在△ADE的面積等于S_△ABC的一半嗎？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圖形的剪拼,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）直接利用等邊三角形的判定方法得出即可；
（2）①利用當(dāng)△ADE的面積最小時(shí)，即AD最小時(shí)，即AD⊥BC，求出即可；
②利用等腰三角形的性質(zhì)得出AC與DE的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)△ADE的面積等于S_△ABC的一半時(shí)，表示出AD的長以及△ADE的高，進(jìn)而得出其面積的等式．

解答：解：（1）△ADE是等邊三角形，
理由：∵△ABC是邊長為4cm的正三角形，點(diǎn)D為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）沿直線AD將△ABC剪開，
將△ABD的邊AB與AC重合，拼在△ACE位置得四邊形ADCE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形；

（2）①當(dāng)△ADE的面積最小時(shí)，即AD最小時(shí)，即AD⊥BC，
∵AB=4cm，
∴AD=ABsin60°=2

3

（cm），BD=

1

2

AB=2cm，
②AC⊥DE，
理由：∵AD⊥BC，
∴∠DAC=∠CAE=∠BAD=30°，
∴AC是∠DAE的角平分線，
∴AC與DE的位置關(guān)系是：AC⊥DE；

（3）設(shè)BD=x時(shí)，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，
當(dāng)△ADE的面積等于S_△ABC的一半時(shí)，AD=DE=

(2-x)2+12

，
AF=

3

2

(2-x)2+12

，
∴

1

2

S_△ABC=S_△ADE，
∴

1

2

×

1

2

×4×2

3

=2

3

=

1

2

×

3

2

×[（2-x）²+12]，
整理得：x²-4x+8=0，
∵b²-4ac=-16＜0，故此方程無解，
∴不存在△ADE的面積等于S_△ABC的一半．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．