Question

8．如圖，點(diǎn)A（a，1）、B（-1，b）都在函數(shù)$y=-\frac{3}{x}$（x＜0）的圖象上，點(diǎn)P、Q分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，PQ所在直線的解析式是y=x+2．

Answer 1

分析 作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′，分別于x、y軸交于點(diǎn)P、Q點(diǎn)，此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小，由點(diǎn)A、B均為反比例函數(shù)上的點(diǎn)，由此即可求出a、b值，即得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出PQ所在直線的解析式．

解答 解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′，分別于x、y軸交于點(diǎn)P、Q點(diǎn)，此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小，如圖所示．
∵點(diǎn)A（a，1）、B（-1，b）都在函數(shù)$y=-\frac{3}{x}$（x＜0）的圖象上，
∴a=-3÷1=-3，b=-3÷（-1）=3，
∴點(diǎn)A（-3，1），點(diǎn)B（-1，3），
∴點(diǎn)A′（-3，-1），點(diǎn)B′（1，3）．
設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=-3k+c}\\{3=k+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴直線A′B′的解析式為y=x+2，即PQ所在直線的解析式是y=x+2．
故答案為：y=x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及軸對(duì)稱(chēng)中的最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P、Q的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．