Question

7．已知：如圖1，等邊△OAB的邊長(zhǎng)為3，另一等腰△OCA與△OAB有公共邊OA，且OC=AC，∠C=120°．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OPQ的面積記為S，請(qǐng)用含有時(shí)間t的式子表示S．
（2）在等邊△OAB的邊上（點(diǎn)A除外），是否存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形？如果存在，這樣的點(diǎn)D共有4個(gè)．
（3）如圖2，現(xiàn)有∠MCN=60°，其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N，連接MN．將∠MCN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過(guò)程中，△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒有變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意分別表示出QO，OP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出S與t的關(guān)系式；
（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形．每一種情形，都有可能O為頂點(diǎn)，C為頂點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，分別討論，得出答案；
（3）如果延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，進(jìn)而求出△BMN的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖1，∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∴∠POQ=90°，
∵OQ=t，OP=3-3t．
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$t•（3-3t）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t，
即S=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t；

（2）如圖2，（i）當(dāng)D點(diǎn)在OA上，
①以D為頂點(diǎn)，D₁C=OD₁，
②以O(shè)為頂點(diǎn)，OD₂=OC，
（ii）當(dāng)D點(diǎn)在OB上，
由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D為頂點(diǎn)的等腰三角形，
以O(shè)為頂點(diǎn)時(shí)，OD₃=OC．
（iii）當(dāng)D點(diǎn)在AB上時(shí)，
此時(shí)OD的最短距離為OD⊥AB時(shí)，此時(shí)OD≠OC，不存在以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形；
當(dāng)以C為頂點(diǎn)時(shí)，D點(diǎn)和A點(diǎn)重合，
當(dāng)以D為頂點(diǎn)時(shí)，OD₄=CD₄，
綜上所述，這樣的點(diǎn)D共有4個(gè)；
故答案為：4；

（3）△BMN的周長(zhǎng)不發(fā)生變化．理由如下：
延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使AF=OM，連接CF．（如圖3）
又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，
在△MOC和△FAC中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=AC}\\{∠MOC=∠CAF=90°}\\{MO=AF}\end{array}\right.$，
∴△MOC≌△FAC（SAS），
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA-∠MCN=60°，
∴∠FCN=∠MCN．
在△MCN和△FCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=FC}\\{∠FCN=∠MCN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△FCN（SAS），
∴MN=NF．
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=6．
∴△BMN的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形面積求法等知識(shí)，得出△OCD為等腰三角形時(shí)，注意分類討論，做到不重復(fù)，不遺漏．