Question

已知點A，B分別是x軸、y軸上的動點，點C，D是某個函數(shù)圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，我們稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個“伴侶正方形”．
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，
①如圖1，當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時，求一次函數(shù)y=x+1的圖象的“伴侶正方形”的邊長．
②如圖2，當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，則一次函數(shù)y=x+1的圖象的“伴侶正方形”的邊長為

 

（2）如圖3，若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0），它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①由ABCD為正方形，得到AB與CD平行，根據(jù)直線y=x+1的斜率為1，得到∠BAO=∠ABO=45°，而∠BAC=45°，得到C在x軸上，同理得到D在y軸上，即C、D分別為直線y=x+1與x軸，y軸的交點，確定出C與D坐標，進而求出CD的長，即為所求的“伴侶正方形”的邊長；
②同上得到OA=OB，設直線y=x+1與x軸交于E點，求出E坐標，根據(jù)題意得到三角形ADE為等腰直角三角形，過D作DH⊥x軸于H點，則有△DHA≌△AOB，得到DH=AH=OA=OB，由OA+AH+HE=OE=1，求出OA與OB的長，進而求出AB的長，即為所求“伴侶正方形”的邊長；
（2）過D作DM⊥x軸于點M，過C作CN⊥y軸于點N，由ABCD為正方形，得到△CNB≌△BOA≌△AMD，進而由D坐標得到BN=OA=DM=m，CN=BO=AM=OM-OA=2-m，ON=OB+BN=2，表示出C坐標，根據(jù)C、D都在反比例函數(shù)圖象上，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求出m的值即可．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CD，
∵C，D在直線y=x+1上，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵ABCD為正方形，
∴∠BAC=45°，
∴點C在x軸上，
同理D在y軸上，
∴C、D分別為直線y=x+1與x軸，y軸的交點，
∴C（-1，0），D（0，1），CD=

2

，
則所求的“伴侶正方形”的邊長為

2

；
②同上，可得OA=OB，設直線y=x+1與x軸交于點E，則E（-1，0），且△ADE為等腰直角三角形，
過D作DH⊥x軸于H點，則有△DHA≌△AOB，
∴DH=AH=OB=OA，
∵OA+AH+EH=OE=1，
∴OA=OB=

1

3

，
∴AB=

2

OA=

2

3

，
則所求的“伴侶正方形”邊長為

2

3

；
故答案為：

2

3

；
（2）過D作DM⊥x軸于點M，過C作CN⊥y軸于點N，
∵ABCD為正方形，
∴△CNB≌△BOA≌△AMD，
∵D（2，m），
∴BN=OA=DM=m，CN=BO=AM=OM-OA=2-m，ON=OB+BN=2，
∴C（2-m，2），
∵C（2-m，2），D（2，m）均在反比例函數(shù)圖象上，
∴2（2-m）=2m，
解得：m=1．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，弄清“伴侶正方形”的意義是解本題的關鍵．