Question

求證：N=5²×3²ⁿ⁺¹×2ⁿ-3ⁿ×6ⁿ⁺²能被13整除．

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：先逆用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)將3²ⁿ⁺¹與6ⁿ⁺²分別變形為3²ⁿ•3及6ⁿ•6²，再逆用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算性質(zhì)得出3²ⁿ•2ⁿ=（3²）ⁿ•2ⁿ=9ⁿ•2ⁿ=18ⁿ，3ⁿ•6ⁿ=（3×6）ⁿ=18ⁿ，然后合并同類(lèi)項(xiàng)得出原式為13×3•18ⁿ，從而判定5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被13整除．

解答：解：5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被13整除．理由如下：
∵5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²
=5²•（3²ⁿ•3）•2ⁿ-3ⁿ•（6ⁿ•6²）
=75•3²ⁿ•2ⁿ-36•3ⁿ•6ⁿ
=75•18ⁿ-36•18ⁿ
=39•18ⁿ
=13×3•18ⁿ，
又∵3•18ⁿ是整數(shù)，
∴5²•3²ⁿ⁺¹•2ⁿ-3ⁿ•6ⁿ⁺²能被13整除．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，單項(xiàng)式的乘法，合并同類(lèi)項(xiàng)等知識(shí)，難度適中，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)與法則是解題的關(guān)鍵．