Question

在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．
（1）如圖1，若∠C=80°，∠B=50°，求∠AEC的度數(shù)；
（2）①如圖2，F(xiàn)為AE上的一點(diǎn)，且FD⊥BC于D．試求出∠EFD與∠B、∠C之間的等量關(guān)系；
②如圖3，當(dāng)F為AE延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)時(shí)，且FD⊥BC，①中的結(jié)論是否仍然成立？（不用說(shuō)明理由）

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；
（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義表示出∠BAE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠AEC，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解；
②結(jié)論仍然成立．

解答：解：（1）∵∠C=80°，∠B=50°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-80°-50°=50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×50°=25°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=50°+25°=75°；

（2）①由三角形的內(nèi)角和定理得，∠BAC=180°-∠C-∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠C-∠B），
由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+

1

2

（180°-∠C-∠B）=90°+

1

2

（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠EFD=90°-∠AEC=90°-90°-

1

2

（∠B-∠C）=

1

2

（∠C-∠B），
即∠EFD=

1

2

（∠C-∠B）；
②結(jié)論∠EFD=

1

2

（∠C-∠B）仍然成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，要注意整體思想的利用．