Question

如圖，一條直線與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4）．B（4，n）兩點(diǎn)，與軸交于D點(diǎn)，AC⊥軸，垂足為C．

1.如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo).（4分）

2.如圖乙，若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點(diǎn)．

①試說明△CDE∽△EAF的理由. （4分）

②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，直接寫出F點(diǎn)坐標(biāo)． （4分）

 

Answer 1

【答案】

 

1.①∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)圖象上

∴k=4

即反比例函數(shù)關(guān)系式為 ；

②∵點(diǎn)B（4，n）在反比例函數(shù)圖象上

∴n=1

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=mx+b

∵點(diǎn)A（1，4）和B（4，1）在一次函數(shù)y=mx+b的圖象上

∴ m+b=4 4m+b=1  解得 m=-1 b=5  

∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=-x+5

令y=0，得x=5

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D（5，0）；   （4分）

2.①證明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x軸

∴C（1，0）

∴AC=CD=4，

即∠ADC=∠CAD=45°，

∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，

∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，

∴∠ECD=∠AEF，

△CDE和△EAF的兩角對(duì)應(yīng)相等，

∴△CDE∽△EAF．                         （4分）

 

②當(dāng)CE=FE時(shí)，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=，

∵A（1，4），

∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)=4-AF=4-=

∴F﹙1，﹚

當(dāng)CE=CF時(shí)，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此時(shí)E與D重合，

∴F與A重合，

∴F（1，4）

當(dāng)CF=EF時(shí)，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，顯然F為AC中點(diǎn)，

∴F（1，2）

當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F1(1，2)；F2(1，4)；F3(1， )  （4分）

【解析】（1）①根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)的解析式為y=；②再求出B點(diǎn)的坐標(biāo)B（4，1），即得n=1；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，令一次函數(shù)的y=0，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)D（5，0）；

（2）①在本題中要證△CDE∽△EAF，只要證明出△CDE和△EAF的三個(gè)內(nèi)角分別對(duì)應(yīng)相等，即可得證；②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，可寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)F₁(1，2)；F₂(1，4)；F₃(1，8-4).

【解析】略