Question

15．在四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=4cm，BC=8cm，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s，過(guò)點(diǎn)N作NM⊥BD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，連接NF交BD于點(diǎn)G，連接BF交AE于點(diǎn)H，連接GH．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）．
（1）如圖1，當(dāng)t=0時(shí)，求證：GF=HF；
（2）如圖2，當(dāng)t為多少時(shí)，△NEF的面積為6cm²？
（3）如圖3，連接GE，當(dāng)t為多少時(shí)，GE=BE，此時(shí)NF與BC的位置關(guān)系是什么？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=0時(shí)，根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)，進(jìn)而利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行解答即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=0時(shí)，可得點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，連接DE，

∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠ABD=45°，
∵AM⊥BD，
∴∠BAE=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BE=AB，
∴四邊形ABED是正方形，
∴DE⊥BC，
∵BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD=DC，
∴∠C=45°，
∴∠CDE=45°，∠BDC=90°，
∵EF⊥CD，
∴DF=EF，∠DEF=∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠EDF=∠BED+∠DEF，即∠ADF=∠BEF，
∵AD=BE，
在△ADF與△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠ADF=∠BEF}\\{DF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BEF，
∴∠AFD=∠BFE，易得∠HEF=90°，
∵DF=EF，∠CDB=∠HEF=90°，△FDG≌△FEH，
∴GF=HF；
（2）因?yàn)椤鱊BE與△EFC是等腰直角三角形，∠NEF=90°，
∵S_△NEF=$\frac{1}{2}$NE•EF，由題意可知：AN=tcm，
∴BE=BN=（4-t）cm，NE=$\sqrt{2}（4-t）$cm，EC=BC-BE=（4+t）cm，
∴EF=$\frac{4+t}{\sqrt{2}}$cm，
∴${S}_{△NEF}=\frac{1}{2}NE•EF=\frac{1}{2}×\sqrt{2}（4-t）•\frac{4+t}{\sqrt{2}}=6$，
解得：t=-2（舍去）或t=2，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△NEF的面積為6cm²，；
（3）當(dāng)GE=BE時(shí)，
∵NE⊥BD，
∴BM=GM，
∵BE=BN，
∴NM=ME，
∴四邊形BEGN是平行四邊形，
∴NF∥BC，
∵∠FEC=45°，
∴∠NFE=45°，
∴NE=EF，即$\sqrt{2}（4-t）=\frac{4+t}{\sqrt{2}}$，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴當(dāng)t為$\frac{4}{3}$時(shí)，GE=BE，此時(shí)NF與BC的位置關(guān)系是平行．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的運(yùn)用解答，并且根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行解答．