Question

（2013•蕭山區(qū)模擬）已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0）、B（3，0），與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，頂點(diǎn)為C，
（1）寫出該拋物線的對(duì)稱軸方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)C變化，使60°≤∠ACB≤90°時(shí)，求出a的取值范圍；
（3）作直線CD交x軸于點(diǎn)E，問(wèn)：在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△CEF是一個(gè)等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0）、B（3，0），即可求出拋物線的對(duì)稱軸；
（2）分別求出當(dāng)∠ACB=60°和∠ACB=90°時(shí)a的值，進(jìn)而求出使60°≤∠ACB≤90°時(shí)，求出a的取值范圍；
（3）分別寫出C點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)以及E點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行分類討論證明△EHF≌△FKC，列出a的方程，解出a的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0）、B（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸x=

-1+3

2

=1；

（2）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，△ABC是等邊三角形，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，-2

3

），
設(shè)y=a（x+1）（x-3），把C點(diǎn)坐標(biāo)（1，-2

3

）代入，
解得a=

3

2

；
當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，△ABC是等腰直角三角形，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，-2），
設(shè)y=a（x+1）（x-3），把C點(diǎn)坐標(biāo)（1，-2）代入，
解得a=

1

2

，
即當(dāng)點(diǎn)C變化，使60°≤∠ACB≤90°時(shí)，

1

2

≤a≤

3

2

；

（3）由于C（1，-4a），D（0，-3a），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
即

-4a=k+b b=-3a

，
解得k=-a，b=-3a，
直線CD的解析式為y=-a（x+3），
故求出E點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）；
分兩類情況進(jìn)行討論；
①如圖1，△EHF≌△FKC，
即HF=CK=3，
4a+1=3，
解得a=

1

2

；
②如圖2，△EHF≌△FKC，
即EK=HF=3；
即4a=3，解得a=

3

4

；
同理，當(dāng)點(diǎn)F位于y軸負(fù)半軸上，a=

1

4

綜上可知在y軸上存在點(diǎn)F，使得△CEF是一個(gè)等腰直角三角形，且a=

1

2

、a=

3

4

或a=

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題的難度較大，特別是第三問(wèn)需要進(jìn)行分類討論解決問(wèn)題．