如圖所示,已知正方形ABCD中,P是BD上任意一點(diǎn),PE⊥BC,垂足為E點(diǎn),PF⊥CD垂足為F,求證:AP⊥EF.
證明:如圖所示,連接PC,設(shè)PC與EF交于O,延長(zhǎng)AP交EF于H. 因?yàn)?/FONT>PE⊥BC于E點(diǎn),PF⊥DC于F點(diǎn), 所以∠PEC=∠PFC=90° 因?yàn)檎叫嗡膫€(gè)角都為直角,∠ECF=90°, 所以四邊形FCEP是矩形, 所以OE=OF=OC=OP,∠FPE=90°, 所以∠2=∠3. 因?yàn)?/FONT>BD是正方形ABCD的對(duì)角線, 所以A、C關(guān)于BD成軸對(duì)稱點(diǎn), 所以△ABP與△CBP關(guān)于BD成軸對(duì)稱, 所以∠3=∠1,所以∠2=∠1. 因?yàn)?/FONT>PE⊥BC,∠ABC=90°, 所以PE∥AB(同位角相等,兩直線平行), 所以∠4=∠1,所以∠4=∠2, 所以∠4+∠FPH=∠2+∠FPH=90°, 所以∠PHF=90°,所以AP⊥EF. |
要證AP⊥EF,需證AP與EF所成的角為90°,所以應(yīng)延長(zhǎng)AP交EF于H,如圖,證∠PHF=90°. |
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