Question

如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點，DE=AD（n為大于2的整數），連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD，BC于點F，G，F(xiàn)G與BE的交點為O，連接BF和EG．

（1）試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；

（2）當AB=a（a為常數），n=3時，求FG的長；

（3）記四邊形BFEG的面積為S₁，矩形ABCD的面積為S₂，當=時，求n的值．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

　

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）先求證△EFO≌△BGO，可得EF=BG，再根據△BOF≌△EOF，可得EF=BF；即可證明四邊形BFEG為菱形；

（2）根據菱形面積不同的計算公式（底乘高和對角線乘積的一半兩種計算方式）可計算FG的長度；

（3）根據菱形面積底乘高的計算方式可以求出BG長度，根據勾股定理可求出AF的長度，即可求出ED的長度，即可計算n的值．

【解答】解：（1）∵AD∥BC，

∴∠EFO=∠BGO，

∵FG為BE的垂直平分線，

∴BO=OE；

∵在△EFO和△BGO中，，

∴△EFO≌△BGO，

∴EF=BG，

∵AD∥BC，

∴四邊形BGEF為平行四邊形；

∵在△BOF和△EOF中，，

∴△BOF≌△EOF，

∴EF=BF，

∵鄰邊相等的平行四邊形為菱形，

∴四邊形BGEF為菱形．

 

（2）當AB=a，n=3時，AD=2a，AE=，

  根據勾股定理可以計算BE=，

∵AF=AE﹣EF=AE﹣BF，在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，計算可得AF=，EF=，

∵菱形BGEF面積=BE•FG=EF•AB，計算可得FG=．

 

（3）設AB=x，則DE=，

S₁=BG•AB，S₂=BC•AB

當=時， =，可得BG=，

在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，計算可得AF=，

∴AE=AF+FE=AF+BG=，DE=AD﹣AE=，

∴=，

∴n=6．

【點評】牢記菱形的底乘高和對角線求面積的計算公式，熟練運用勾股定理才能解本題．