Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點A，B是這條直線在第一象限上的一點，過點B作x軸的垂線，垂足為點D，已知△ABD的面積為18．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）如果拋物線y=-

1

2

x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A和點B，求拋物線的解析式；
（3）已知（2）中的拋物線與y軸相交于點C，該拋物線對稱軸與x軸交于點H，P是拋物線對稱軸上一點，過點P作PQ∥AC交x軸交于點Q，如果點Q在線段AH上，并且AQ=CP，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線y=x+2可知斜率為1，則AD=BD，然后根據(jù)三角形的面積求得B點的縱坐標(biāo)，因為直線與x軸交點是（2，0）求得OA的長，從而求得OD的長，最后求得P點的坐標(biāo)．
（2）用待定系數(shù)法把A、B的坐標(biāo)代入即可．
（3）由A、C點的坐標(biāo)可得AC的斜率為3，設(shè)PQ直線為y=3x+b，可解出b值以及Q點的x坐標(biāo)，AQ可得，CP可用勾股定理獲得，然后AQ=CP，求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=x+2的斜率為1，
∴AD=BD，
∴S_△ABC=

1

2

AD•BD=

1

2

BD²，
∴18=

1

2

BD²，
解得BD=6，
∴AD=BD=6，
∵直線y=x+2與x軸的交點A的坐標(biāo)為（-2，0），
∴OD=4，
∴點B的坐標(biāo)為（4，6）．

（2）把A、B點的坐標(biāo)代入y=-

1

2

x2+mx+n得：

0=- 1 2 ×(-2)2+m×(-2)+n 6=- 1 2 ×42+4m+n

，
解得：

m=2 n=6

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+2x+6．

（3）可設(shè)P點為（a，-

1

2

a2+2a+6），
∵拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+2x+6與y軸的交點C為（0，6），對稱軸為x=2．
∴直線AC的斜率為3，
∵PQ∥AC，
∴直線PQ的斜率也為3，
設(shè)直線PQ的解析式為y=3x+b，則Q（-

b

3

，0），
∴AQ=2-

b

3

，
當(dāng)x=2時，y=3x+b=6+b，
∴P（2，6+b），
∴PC²=2²+【6-（6+b）】²=4+b²，
當(dāng)y=0時，y=3x+b
解得x=-

b

3

，
∴AQ=2-

b

3

，
∵AQ=CP，
∴（2-

b

3

）²=4+b²，
解得：b=-

3

2

或b=0，
∴P（2，

9

2

）或（2，6）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及勾股定理的應(yīng)用；