Question

18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以BC為邊作?BCEF，以AE為斜邊在同一側(cè)作等腰直角三角形ADE，連接CD、CF．
（1）如圖1，若?BCEF為矩形，則CF與CD的數(shù)量關(guān)系是CF=$\sqrt{2}$CD；
（2）如圖2，探究CF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，結(jié)論：CF=$\sqrt{2}$CD，作DM⊥AC，DN⊥EF垂足分別為M、N，連接DF，只要證明△DMC≌△DNF即可．
（2）如圖2中，結(jié)論：CF=$\sqrt{2}$CD．作DM⊥AC，DN⊥EF垂足分別為M、N，連接DF，延長FE交AC于H，先證明△ADM≌△EDN再證明△DMC≌△DNF即可．

解答 解：（1）如圖1中，結(jié)論：CF=$\sqrt{2}$CD．
理由：作DM⊥AC，DN⊥EF垂足分別為M、N，連接DF．
∵AD=DE，∠ADE=90°，DM⊥AE，
∴AM=ME，
∴DM=AM=ME，
∵∠DME=∠MEN=∠DNE=90°，
∴四邊形DMEN是矩形，
∵M(jìn)D=ME，
∴四邊形DMEN是正方形，
∴DM=DN=AM，∠MDN=90°，
∵AC=BC=EF，
∴CM=NF，
在△DMC和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{∠DMC=∠DNF=90°}\\{CM=NF}\end{array}\right.$，
∴△DMC≌△DNF，
∴CD=DF，∠CDM=∠FDN，
∴∠CDF=∠MDN=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=$\sqrt{2}$CD．
故答案為CF=$\sqrt{2}$CD．
（2））如圖2中，結(jié)論：CF=$\sqrt{2}$CD．
理由：作DM⊥AC，DN⊥EF垂足分別為M、N，連接DF，延長FE交AC于H．
∵四邊形BCEF是平行四邊形，
∴BC=EF=AC，EF∥BC，
∴∠AHF=∠ACB=90°，
∵∠DMH=∠MHN=∠DNH=90°，
∴四邊形DMHN是矩形，
∴∠MDN=90°，
∵∠ADE=∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠EDN，
在△ADM和△EDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠DNE}\\{∠ADM=∠EDN}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△EDN，
∴AM=EN，DM=DN，
∴CM=FN，
在△DMC和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{∠DMC=∠DNF=90°}\\{CM=NF}\end{array}\right.$，
∴△DMC≌△DNF，
∴CD=DF，∠CDM=∠FDN，
∴∠CDF=∠MDN=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=$\sqrt{2}$CD．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會常用輔助線的添加方法，屬于中考�？碱}型．