如圖1,已知四邊形ABCD是菱形,G是線段CD上的任意一點(diǎn)時(shí),連接BG交AC于F,過(guò)F作FH∥CD交BC于H,可以證明結(jié)論成立.(考生不必證明)
(1)探究:如圖2,上述條件中,若G在CD的延長(zhǎng)線上,其它條件不變時(shí),其結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)計(jì)算:若菱形ABCD中AB=6,∠ADC=60°,G在直線CD上,且CG=16,連接BG交AC所在的直線于F,過(guò)F作FH∥CD交BC所在的直線于H,求BG與FG的長(zhǎng).
(3)發(fā)現(xiàn):通過(guò)上述過(guò)程,你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時(shí),結(jié)論還成立嗎?

【答案】分析:(1)借助中間比進(jìn)行證明,根據(jù)平行線分線段成比例定理分別證明兩個(gè)比都等于即可;
(2)首先應(yīng)畫(huà)出兩個(gè)不同的圖形進(jìn)行分析.構(gòu)造30°的直角三角形,然后計(jì)算兩條直角邊的長(zhǎng),在兩種情況中,GQ=16+3=19或16-3=13,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算BG的長(zhǎng),進(jìn)一步根據(jù)比例式求得FG的長(zhǎng);
(3)成立,根據(jù)(2)中的過(guò)程,可以分別求得左右兩個(gè)比,從而證明結(jié)論.
解答:解:(1)結(jié)論成立
證明:由已知易得FH∥AB,
,
∵FH∥GC,


(2)∵G在直線CD上,
∴分兩種情況討論如下:
①G在CD的延長(zhǎng)線上時(shí),DG=10,
如圖1,過(guò)B作BQ⊥CD于Q,
由于四邊形ABCD是菱形,∠ADC=60°,
∴BC=AB=6,∠BCQ=60°,
∴BQ=3,CQ=3,
∴BG=
又由FH∥GC,可得
而△CFH是等邊三角形,
∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,
,
∴FH=,
由(1)知,
∴FG=
②G在DC的延長(zhǎng)線上時(shí),CG=16,
如圖2,過(guò)B作BQ⊥CG于Q,
∵四邊形ABCD是菱形,∠ADC=60°,
∴BC=AB=6,∠BCQ=60°.
∴BQ=3,CQ=3.
∴BG==14.
又由FH∥CG,可得,

∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,
∴FH=
∵FH∥CG,

∴BF=14×÷16=
∴FG=14+

(3)G在DC的延長(zhǎng)線上時(shí),,

成立.
結(jié)合上述過(guò)程,發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時(shí),結(jié)論還成立.
點(diǎn)評(píng):證明比例式的時(shí)候,可以利用相似或利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行證明.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀與理解:
三角形的中線的性質(zhì):三角形的中線等分三角形的面積,
即如圖1,AD是△ABC中BC邊上的中線,
S△ABD=S△ACD=
1
2
S△ABC

理由:∵BD=CD,∴S△ABD=
1
2
BD×AH=
1
2
CD×AH=S△ACD
=
1
2
S△ABC

即:等底同高的三角形面積相等.
操作與探索
在如圖2至圖4中,△ABC的面積為a.
(1)如圖2,延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接DA.若△ACD的面積為S1,則S1=
 
(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如圖3,延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若△DEC的面積為S2,則S2=
 
(用含a的代數(shù)式表示),并寫(xiě)出理由;
(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖4).若陰影部分的面積為S3,則S3=
 
(用含a的代數(shù)式表示).
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拓展與應(yīng)用
如圖5,已知四邊形ABCD的面積是a,E、F、G、H分別是AB、BC、CD的中點(diǎn),求圖中陰影部分的面積?精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知四邊形ABCD是菱形,G是線段CD上的任意一點(diǎn)時(shí),連接BG交AC于F,過(guò)F作FH∥CD交BC于H,可以證明結(jié)論
FH
AB
=
FG
BG
成立.(考生不必證明)
(1)探究:如圖2,上述條件中,若G在CD的延長(zhǎng)線上,其它條件不變時(shí),其結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)計(jì)算:若菱形ABCD中AB=6,∠ADC=60°,G在直線CD上,且CG=16,連接BG交AC所在的直線于F,過(guò)F作FH∥CD交BC所在的直線于H,求BG與FG的長(zhǎng).
(3)發(fā)現(xiàn):通過(guò)上述過(guò)程,你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時(shí),結(jié)論
FH
AB
=
FG
BG
還成立嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xoy中,將面積為3的直角三角形AGO沿直線y=x翻折,得到三角形CHO,連接AC,已知反比例函數(shù)y=
kx
(x>0)
的圖象過(guò)A、C兩點(diǎn),如圖①.
(1)k的值是
 
;
(2)在直線y=x圖象上任取一點(diǎn)D,作AB⊥AD,AC⊥CB,線段OD交AC于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,P為直線OD上一動(dòng)點(diǎn),連接PB、PC、CE.
㈠如圖②,已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,當(dāng)四邊形AECD為正方形時(shí),求三角形PBC的面積;
㈡如圖③,若已知四邊形PEBC為菱形,求證四邊形PBCD是平行四邊形;
㈢若D、P兩點(diǎn)均在直線y=x上運(yùn)動(dòng),當(dāng)∠ADC=60°,且三角形PBC的周長(zhǎng)最小時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出三角形PBC與四邊形ABCD的面積之比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•太原一模)如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E,以點(diǎn)E為頂點(diǎn)作正方形EFGH,使點(diǎn)A、D分別在EH和EF上,連接BH、AF.
(1)判斷并說(shuō)明BH和AF的數(shù)量關(guān)系;
(2)將正方形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ(0°≤θ≤360°),設(shè)AB=a,EH=b,且a<2b.
①如圖2,連接AG,設(shè)AG=x,請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍;當(dāng)x取最大值時(shí),直接寫(xiě)出θ的值;
②如果四邊形ABDH是平行四邊形,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形,并求a與b的數(shù)量關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,將已知四邊形分別在格點(diǎn)圖中補(bǔ)成關(guān)于已知直線:l、m、n、p為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)的圖形.

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