Question

15．己知矩形ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點，求證：PA²+PC²=PB²+PD²．（提示：應(yīng)分P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，三種情形加以討論．）

Answer 1

分析 ①根據(jù)PA²-PB²=AB²=CD²=PD²-PC²，移項即可；
②過點P作AD的垂線，交AD于點E，交BC于點F，可證四邊形ABFE和CDEF為矩形，則AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分別求PA²，PC²，PB²，PD²，再比較PA²+PC²與PB²+PD²即可；
③方法同②，根據(jù)勾股定理分別求PA²，PC²，PB²，PD²，即可得到結(jié)論．

解答 證明：①如圖1，P在矩形的邊上，
在Rt△ABP中，由勾股定理，得PA²-PB²=AB²，
同理可得PD²-PC²=CD²，
由矩形的性質(zhì)可得AB=CD，
∴PA²-PB²=PD²-PC²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
②P在矩形內(nèi)，如圖2，過點P作AD的垂線，交AD于點E，交BC于點F，
則四邊形ABFE和CDEF為矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
則AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
③P在矩形外，如圖3，過P作PF⊥AB于F，交CD于E，
則PE⊥CD，
∴四邊形AFED與四邊形BCEF是矩形，
∴BF=CE，AF=DE，
由勾股定理得：
則AP²=AF²+PF²，PC²=PE²+CE²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AF²+PF²+PE²+CE²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

點評 本題考查了勾股定理及矩形的性質(zhì)．關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理分別表示邊長的平方．