Question

如圖，⊙O的弦AB=8，直徑CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求：
（1）⊙O的半徑；
（2）求CE•CF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OB，設(shè)OM=3k，則MD=2k，OD=5k，根據(jù)垂徑定理由直徑CD⊥AB得到BM=AM=

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AB=4，在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，根據(jù)勾股定理得BM=4k，
則4k=4，解得k=1，于是得到圓O的半徑為5；
（2）連結(jié)AE，如圖，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=8，AM=4，由勾股定理計(jì)算出AC²=AM²+CM²=80，根據(jù)垂徑定理由直徑CD⊥AB得到弧AC=弧BC，在根據(jù)圓周角定理得∠AEC=∠CAF，易證得△CAE∽△CFA，得到相似比AC：CF=CE：AC，然后根據(jù)比例性質(zhì)得CE•CF=AC²=80．

解答：解：（1）連結(jié)OB，設(shè)OM=3k，則MD=2k，OD=5k，
∵直徑CD⊥AB，
∴BM=AM=

1

2

AB=4，
在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，
∴BM=

OB2-OM2

=4k，
∴4k=4，解得k=1，
∴圓O的半徑為5；
（2）連結(jié)AE，如圖，
在Rt△ACM中，CM=OC+OM=5+3=8，AM=4，
∴AC²=AM²+CM²=16+64=80，
∵直徑CD⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AEC=∠CAF，
又∵∠ACF=∠FCA，
∴△CAE∽△CFA，
∴AC：CF=CE：AC，
∴CE•CF=AC²=80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．