Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象分別交于點A（2，4）和點B（4，n），與坐標軸分別交于點C和點D．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求y1＜y2時，自變量x的取值范圍；

（3）若點P是x軸上一動點，當△ABP為直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y2＝，y1＝﹣x+6；（2）0＜x＜2或x＞4；（3）P點坐標為（﹣2，0）或（2，0）．

【解析】

（1）先把A點坐標代入y2＝中求出m得到反比例函數(shù)解析式為y2＝，再利用反比例函數(shù)解析式確定B點坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；

（2）在第一象限內(nèi)，寫出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方所對應的自變量的范圍即可；

（3）設P（t，0），利用兩點間的距離公式得到PA2＝（t﹣2）2+42，PB2＝（t﹣4）2+22，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2，討論：根據(jù)勾股定理，當∠PAB＝90°時，t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20；當∠PBA＝90°時，t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20；當∠APB＝90°時，t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，然后分別解關于t的方程可得到P點坐標．

解：（1）把A（2，4）代入y2＝得m＝2×4＝8，

∴反比例函數(shù)解析式為y2＝，

把B（4，n）代入y2＝得4n＝8，解得n＝2，則B（4，2），

把A（2，4）和B（4，2）代入y1＝kx+b得，

解得，

∴一次函數(shù)解析式為y1＝﹣x+6；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象可得：當0＜x＜2或x＞4時，y1＜y2；

（3）設P（t，0），

∵A（2，4），B（4，2）

∴PA2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8，

當∠PAB＝90°時，PA2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此時P點坐標為（﹣2，0），

當∠PBA＝90°時，PB2+AB2＝PA2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此時P點坐標為（2，0），

當∠APB＝90°時，PA2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程沒有實數(shù)解，

綜上所述，P點坐標為（﹣2，0）或（2，0）．