【題目】如圖,拋物線y=mx2﹣8mx+12m(m0)與x軸交于A,B兩點(點B在點A的左側),與y軸交于點C,頂點為D,其對稱軸與x軸交于點E,聯(lián)接AD,OD.

(1)求頂點D的坐標(用含m的式子表示);

(2)若ODAD,求該拋物線的函數(shù)表達式;

(3)在(2)的條件下,設動點P在對稱軸左側該拋物線上,PA與對稱軸交于點M,若△AME與△OAD相似,求點P的坐標.

【答案】(1)頂點D的坐標為(4,﹣4m);(2)y=x2﹣4x+6;(3)P的坐標(0,6)或(1,).

【解析】分析:(1)把拋物線解析式配成頂點式得到D點坐標;

(2)先解方程mx2-8mx+12m=0得到A(6,0),B(2,0),再證明△DEO∽△AED,利用相似比得到4m:2=4:4m,然后求出m即可得到拋物線解析式;

(3)由(2)得D(4,-2),利用相似的傳遞性得到△AME與△EAD相似,由于∠ADO=∠AEM=90°,根據(jù)相似三角形的判定,當時,△AEM∽△DEA,即,解得EM=,,則EM=DE=2,則EM=DE=2,分別確定對應M點的坐標,求出相應直線AM的解析式,然后把直線AM的解析式與拋物線解析式組成方程組,再解方程組可得到對應P點坐標.

詳解:(1)∵y=mx424m,

∴頂點D的坐標為(4,﹣4m);

2)當y=0時,mx28mx+12m=0,解得x1=2,x2=6

A6,0),B2,0),

OA=6

∵拋物線的對稱軸為x=4,

∴點E4,0),

OE=4,AE=2,DE=4m,

ODAD

∴∠ADO=90°,即∠ODE+∠ADE=90°,

而∠ODE+∠DOE=90°

∴∠DOE=ADE,

∴△DEO∽△AED,

DEAE=OEDE,即4m2=44m,解得m1=,m2=(舍去),

∴拋物線解析式為y=x24x+6;

3)由(2)得D4,﹣2),

∵△ADO與△AED相似,△AME與△OAD相似

∴△AME與△EAD相似,

∵∠ADO=AEM=90°,

∴當時,△AEM∽△DEA,即,解得EM=

M4,

易得直線AM的解析式為y=x+3

解方程組,

∴此時P點坐標為(1),

,則EM=DE=2,

M4,2),

易得直線AM的解析式為y=x+6,

解方程組,

∴此時P點坐標為(0,6),

綜上所述,點P的坐標(0,6)或(1,).

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3)將長方形紙片ABCD按圖③所示的方式折疊,若∠EOFx°,則∠BOC的度數(shù)為   .(直接填寫答案,答案用含x的代數(shù)式表示.

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