Question

【題目】如圖1，AOBC的頂點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)D、E分別在BO、AO的延長(zhǎng)線上，且OD＝2OB，OE＝2OA，連接DE．

(1)求∠AOB的度數(shù)；

(2)求證：DE是⊙O的切線；

(3)如圖2，設(shè)直線DE與⊙O相切于點(diǎn)F，連接AD、BF，判斷線段AD與BF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）證明見解析；（3）AD∥BF，且AD＝BF．

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合半徑相等可得出△AOC和△BOC均為等邊三角形，進(jìn)而可得出∠AOC＝∠BOC＝60°，將其代入∠AOB＝∠AOC+∠BOC中即可求出結(jié)論；（2）由（1）可知：四邊形AOBC為菱形，連接CO，并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)M，連接AB交OC于點(diǎn)N，由OD＝2OB，OE＝2OA結(jié)合對(duì)頂角相等可得出△DOE∽△BOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出DE＝2AB，OM＝2ON及∠ODE＝∠OBA，由內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得出AB∥DE，由菱形的性質(zhì)可得出ON⊥AB，OC＝2ON，進(jìn)而可得出OM⊥DE，OM＝OC，再根據(jù)切線的定義即可證出DE是⊙O的切線；（3）連接AB，OF，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出OF⊥DE，結(jié)合OD＝OE可得出DF＝DE＝AB，結(jié)合AB∥DE可得出四邊形ADFB為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BF且AD＝BF．

（1）連接OC，如圖3所示．

∵四邊形AOBC為平行四邊形，

∴AC＝OB，AO＝CB．

又∵OA＝OC＝OB，

∴△AOC和△BOC均為等邊三角形，

∴∠AOC＝∠BOC＝60°，

∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°．

（2）證明：由（1）可知：四邊形AOBC為菱形．

連接CO，并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)M，連接AB交OC于點(diǎn)N，如圖4所示．

∵OD＝2OB，OE＝2OA，∠DOE＝∠BOA，

∴△DOE∽△BOA，

∴DE＝2AB，OM＝2ON，∠ODE＝∠OBA，

∴AB∥DE．

∵四邊形AOBC為菱形，

∴ON⊥AB，OC＝2ON，

∴OM⊥DE，OM＝OC，

∴DE是⊙O的切線．

（3）解：AD∥BF，且AD＝BF．

證明：在圖2中，連接AB，OF，如圖所示．

∵直線DE與⊙O相切于點(diǎn)F，

∴OF⊥DE．

∵OD＝OE，

∴DF＝DE＝AB．

又∵AB∥DE，

∴四邊形ADFB為平行四邊形，

∴AD∥BF，且AD＝BF．